La Géométrie Sacrée

Tendez une corde entre deux points, et vous obtenez une ligne droite. Marchez une extrémité de la chaîne autour de l’autre et vous obtenez un cercle. Ces deux formes, des cercles et des lignes, forment quelques-unes des formes de base de la géométrie. 

Alors que l’astronomie précoce axé sur le marquage du temps, par exemple lorsque le Soleil levant serait le plus au nord, ou le nombre de jours jusqu’à ce que le croissant de Lune est revenu, la géométrie simple des courbes nous a donné un lien vers les cieux. Le Soleil, la Lune, et même les étoiles semblaient tracer des cercles autour de la Terre. De même, une balle à terre tracé une trajectoire linéaire vers le sol, et le feu semblait monter linéairement vers le haut. La géométrie des cercles et des lignes était rien moins que la géométrie sacrée du Ciel et de la Terre.

Autour de 300 avant JC, Euclide d’Alexandrie a formalisé cette géométrie dans un opus 13 de livre connu sous lenom The Elements . Il a commencé avec cinq hypothèses de base (axiomes) sur des lignes et des cercles:

1. Vous pouvez toujours tracer un segment de ligne droite entre deux points.
2. Vous pouvez toujours étendre un segment de ligne droite indéfiniment
3. Pour tout segment de ligne vous et dessinez un cercle où le segment de ligne est le rayon et une extrémité est le centre.
4. Tous les angles droits sont les mêmes.
5. Si deux lignes ne sont pas parallèles, ils finiront par traverser si vous prolongez leur assez loin.

A partir de ces axiomes, il a développé une méthode formelle de preuves et théorèmes (éléments), montrant que si ces premiers axiomes sont vrais, alors d’autres aspects de la géométrie doivent aussi être vrai. Euclid nous a donné le langage de la géométrie, et par extension la langue de la plupart des mathématiques modernes. Ce langage géométrique pourrait alors être utilisé pour décrire le mouvement des corps célestes. Si vous voulez savoir quand Mars et Jupiter semblent proches dans le ciel, ou lorsque Vénus apparaîtrait comme l’étoile du matin, on pouvait calculer la géométrie.

Ce même géométrie nous a aussi donné des outils pour mesurer les mouvements célestes avec plus de précision.Nous pourrions trianguler les positions des planètes contre les étoiles, et calculer leurs véritables chemins sur la Terre. Il est vite apparu que les planètes ne se déplacent pas dans les cercles . Les lignes et les cercles étaient si incroyablement utile que de nombreuses solutions proposées concentrent toujours sur eux. Peut-être que la motion d’une planète autour de la Terre était circulaire, mais pas centré sur la Terre. Peut-être était une combinaison de cercles (épicycles) sur d’autres cercles pour tracer le chemin d’une planète. Peut-être que les planètes se déplacent dans les cercles autour du Soleil plutôt que la Terre. Tous ces amélioré sur le modèle simple de mouvement circulaire autour de la Terre , mais ils étaient toujours juste un peu en dehors de la véritable mouvement des planètes. La solution est venue de Johannes Kepler, qui a proposé non pas des orbites circulaires autour du Soleil, mais elliptiques.

Une ellipse fait partie d’une famille de courbes appelées sections coniques. Si vous prenez un segment de droite et tracer une extrémité autour d’ un cercle, la ligne trace un cône. Si vous coupez ensuite le cône avec un plan, vous pouvez former quatre types de courbes différentes. Straight through, et vous obtenez un cercle. A un angle, et vous obtenez une ellipse. Parallèle au bord du cône et vous obtenez une parabole. Steeper que le bord du cône et vous obtenez une hyperbole. De cette façon , un cercle est un cas particulier d’une famille géométrique plus grande. En généralisant les cercles à ellipses, Kepler a conçu un ensemble de trois règles de base pour lemouvement planétaire qui est venu à être connu comme les lois de Kepler . Ils étaient extrêmement précis, et étaient beaucoup plus simples que les cercles et les épicycles offset.

Autour du même temps que Kepler, René Descartes se développe une nouvelle approche à la géométrie. Bien que notre compréhension des formes géométriques était améliorée au cours des siècles, la géométrie suivait encore les méthodes d’Euclide. Imaginez une ligne bissectrice un cercle, imaginer une sphère fermée par un cube. La géométrie était sur le point de lignes, de courbes et de formes par rapport à l’autre, et ceci pourrait être compliqué. la deuxième loi de Kepler par exemple, imaginé une ligne reliant une planète au Soleil pour balayer une quantité égale d’espace pour des quantités égales de temps. Descartes imaginait que l’espace peut être rempli avec une grille comme un cadre de référence. De cette façon, chaque point de l’espace peut être représentée par un ensemble unique de nombres (coordonnées), et une courbe peut être représentée comme une fonction liée à une coordonnée aux autres. Avec cette géométrie analytique, Descartes connecté la géométrie à l’algèbre, nous donnant encore plus d’outils pour décrire des courbes et des formes.

La géométrie analytique nous a également permis de regarder lemouvement non seulement comme un chemin à travers l’ espace, mais aussi comme un chemin à travers le temps. Chaque position dans l’ espace a trois coordonnées chiffres marquant son emplacement, et en ajoutant une quatrième coordonnée représentant le temps , nous pouvons créer une géométrie où et quand. Quand Isaac Newton a développé ses lois du mouvement , il a décrit le mouvement en termes de vitesse et d’accélération. Utilisation de la géométrie analytique , il pourrait relier ces fonctions de temps à des courbes dans l’ espace, traçant le chemin d’un objet à travers l’ espace et le temps. Cette même approche a également permis Newton de prouver que les lois de Kepler du mouvement étaient le résultat d’une force universelle de l’ attraction gravitationnelle, ouvrant la voie à l’âge de l’ astrophysique.

La géométrie euclidienne de l’ espace et le temps était si puissant que sa validité semblait incontestable. Que pouvaient le cosmos être sinon une mesure de l’ espace existant dans le temps? Combiné avec la précision de laphysique newtonienne, il se sentait comme si nous avions atteint le summum de la compréhension. Mais dans les années 1800  Bernhard Riemann a commencé à explorer des alternatives à la géométrie euclidienne. Les coordonnées de Descartes étaient un moyen de cartographier l’ espace géométrique d’Euclide, mais si les relations entre ces coordonnées peuvent être déformées. Nous pourrions imaginer une surface euclidienne comme une feuille de papier marqués d’une grille. Si la feuille a été faite de caoutchouc, d’ étirement ou deflexion de la feuille fausserait la forme de la grille. Certaines règles de la géométrie seraient encore appliquer sur la feuille, mais pas nécessairement les cinq axiomes d’Euclide. Tout comme les cercles ne sont qu’un exemple d’une section conique, la géométrie d’Euclide est juste un membre d’une famille géométrique beaucoup plus grande.

Cela a donné lieu à une forme plus générale de la géométrie connue comme la géométrie de Riemann, où l’ espace pourrait être un collecteur malléable plutôt que d’ un fond rigide. Les connexions entre les points dans l’ espace sont déterminées par la structure du collecteur, et les anciennes règles d’Euclide peuvent être étirés ou même cassés. Deux cercles de la même circonférence peuvent avoir différents rayons de longueurs. Les lignes parallèles pourraient éventuellement traverser. Deux angles droits pourraient ne pas être les mêmes, par rapport à l’autre. Tout comme Descartes connecté la géométrie à l’ algèbre, la géométrie de Riemann reliée à la topologie . La géométrie ne se limite plus à une grille de fond fixe.

Mais sûrement rien de tout cela appliqué à l’Univers dans son ensemble. Feuilles de papier et caoutchouc balles peuvent être déformées dans des formes différentes, mais l’espace ne sont pas un matériau physique.Assurément, il doit être rigide et absolue. Certes, l’espace et le temps doivent être euclidienne.

Mais il est important de noter que les axiomes d’Euclide étaient hypothèses. Ils semblent intuitivement vrai pour l’espace et le temps, mais les hypothèses peuvent se tromper. Une des grandes hypothèses sur le temps dans l’Univers, est qu’il est le même partout. Si nous synchroniser deux horloges, ils doivent toujours lire le même temps, même si elles sont la vitesse excessive sur un vaisseau ou des années-lumière. Mais si le temps de l’espace était la grille absolue contre laquelle tout est mesuré, puis la vitesse d’un objet doit toujours être par rapport à cette grille, même la vitesse de la lumière. Si vous accélérez le long par rapport à la grille de l’espace-temps cosmique, vous mesurer une vitesse différente pour la lumière que si vous étiez encore. Mais il se trouve l’espace et le temps ne sont pas cadres absolus, la lumière est. Lumière forme une connexion géométrique entre l’espace et le temps, et la règle géométrique qui relie l’espace et le temps est que sa vitesse sera toujours une constante universelle.

Ceci est la perspicacité Albert Einstein portée à la physique. Riemann avait raison. La clé de la géométrie est la façon dont un collecteur est topologiquement connecté. Pour notre Univers, la lumière est la connexion, et dans l’espace et le temps de fausser de quelque manière que nécessaire pour préserver cet égard. Il est la relativité générale de l’espace et le temps.

Peut-être l’aspect le plus étonnant de la théorie d’Einstein est que la gravité – la force qui provoque les planètes à tracer leur géométrie elliptique autour du Soleil – est lui – même simplement une conséquence de la géométrie . Les distorsions de l’ espace et le temps signifient que les objets ne se déplacent pas toujours en ligne droite. Leur chemin peut être déformé, ce qui fait penser comme ils sont tirés par une force gravitationnelle. La loi de la gravitation de Newton était un triomphe intellectuel, mais il a également représenté une compréhension incomplète de la géométrie. Notre Univers a une géométrie sacrée après tout. Ce n’est pas la géométrie fixe d’une grille rigide et invisible, mais la géométrie lumineuse de la lumière.